Vom Abakus zur Formelsprache

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Das macht nach Adam Riese? Wann entwickelte sich die mathematische Formelsprache, die wir täglich benutzen?

Ein Beitrag von Thomas de Padova

Ein halbes Jahrtausend ist verstrichen. Das Papier des aufgeschlagenen Notizbuchs ist fleckig und leicht gewellt, Leonardo da Vincis Spiegelschrift ist dennoch leicht zu entziffern: 2-3 geteilt durch 3-4. Rechter Hand das Ergebnis: Fa 8-9 . Die Rechnung scheint damit abgeschlossen zu sein. Leonardo verwarf das korrekte Resultat allerdings wieder. Er kombinierte Zähler und Nenner auf neue Weise, rechnete weiter und verlor sich im Dickicht der Brüche. Sein kleines Notizbuch, das heute im Institut de France in Paris liegt, bietet uns die seltene Gelegenheit, einem Renaissancemenschen beim mathematischen Denken über die Schulter zu schauen. Wir erfahren zum Beispiel, warum Leonardo das richtige Ergebnis anzweifelte: Wenn man etwas teile, müsse es dadurch kleiner werden, behauptete er. 8-9 indes sei größer als 2-3. Das Resultat könne also nicht stimmen. Leonardo hatte die Rechenaufgabe der „Summa de arithmetica“ entnommen, einem der frühesten gedruckten Mathematikbücher in italienischer Volkssprache. Neben der euklidischen Geometrie umfasste es die Grundlagen des Rechnens mit arabischen Ziffern. Südlich der Alpen war die Zahlschrift aus dem Orient schon seit geraumer Zeit in Umlauf. Sie drängte die römischen Zahlen, die zum Rechnen nicht taugten, mehr und mehr zurück. Gerechnet hatte man in Europa seit dem Altertum mit den Fingern, dem Abakus und mit Rechensteinen auf einem Rechenbrett. Nun setzte sich überall auf dem Kontinent das schriftliche Rechnen auf Basis der neuen Ziffern durch. 1496 kam der Autor der „Summa“, Luca Pacioli, an den Hof nach Mailand, wo sich eine langjährige Freundschaft zwischen ihm und Leonardo entspann. „Maestro Luca“ nahm großen Anteil an Leonardos Arbeiten. Im Bruchrechnen musste Pacioli ihn aber korrigieren. Eins seiner lehrreichen Beispiele: Wie viel ist 1-2 geteilt durch 1-3? Besser gefragt: Wie oft passt 1-3 in 1-2 hinein? Offensichtlich anderthalb Mal. Und 3-2 ist größer als 1-2, entgegen Leonardos Behauptung. Leonardo lernte nun zwar, dass man eine Zahl durch einen Bruch teilt, indem man sie mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert. Doch Zahlen entzogen sich seiner besonderen Gabe der Visualisierung. Dagegen fühlte er sich auf der Höhe seines künstlerischen Schaffens von geometrischen Fragen jedweder Art angezogen. Er wollte wissen, wie man regelmäßige Fünf- oder Siebenecke konstruiert, das Volumen eines Würfels verdoppelt oder den Schwerpunkt einer Pyramide berechnet. Als Schüler einer Florentiner Werkstatt war Leonardo mit einer neuen geometrischen Bildsprache aufgewachsen: der Zentralperspektive. Über sie fand er zu einer eigenen Art der Wissensvermittlung. Die Bandbreite seiner grafischen Techniken ist atemberaubend. Aus seinen Mailänder Jahren stammt etwa die Zeichnung eines menschlichen Schädels, die er aus verschiedenen Perspektivstudien zusammensetzte. Solche Montagen erlaubten es ihm, in einer einzigen Zeichnung eine Fülle an Informationen unterzubringen. Besonders eindrucksvoll sind seine Explosivzeichnungen. Zum Beispiel zog Leonardo die Wirbelsäule entlang ihrer Achse auseinander, um die einzelnen Wirbelkörper voneinander zu trennen und sichtbar zu machen, wie sie ineinandergreifen. Heutzutage begegnen wir solchen Grafiken ständig in Gebrauchs- oder Montageanleitungen. Sie ersetzen langwierige Beschreibungen, wenn es darum geht, ein Regal zusammenzubauen oder eine Lampe zu reparieren.

Herausbildung der mathematischen Formelsprache

Neben Buchdruck und Zentralperspektive, zwei großen Errungenschaften der Renaissance, verdanken wir dieser Epoche eine weitere bedeutende Kulturtechnik, von der seltener die Rede ist: die Herausbildung einer mathematischen Formelsprache inklusive Plus-, Minus- oder Wurzelzeichen, die wir seither benutzen. Und zwar überall auf der Welt. Diese Formelsprache entsprang demselben Zeitgeist wie die geometrische Bildkonstruktion. Treibende Kraft dahinter war ein wissenschaftsfreundlicher Humanismus, der zurückschaute auf die Hinterlassenschaften der griechischen Antike und des arabischen Mittelalters, der sie übersetzte, vervielfältigte und gedanklich fortspann. Erst das weitergedachte Wissen zweier Hochkulturen ermöglichte den Aufstieg der Mathematik in Europa. Italien nahm diesbezüglich eine Vorreiterrolle ein. Zukunftsträchtige mathematische Symbole wie „+“, „–“ oder „√“ kamen allerdings im deutschsprachigen Raum auf.

Und einer, der wesentlich zu ihrer Verbreitung beitrug, war Michael Stifel, ein protestantischer Pfarrer und Weltuntergangsprophet. Stifel glaubte, den Zeitpunkt der Apokalypse aus der Bibel herauslesen zu können. Seiner „Wortrechnung“ nach sollte das Jüngste Gericht in der achten Stunde des 19. Oktober 1533 eintreten, eine Prophezeiung, die im sächsischen Lochau und den umliegenden Dörfern die Runde machte. Auch von weither aus Schlesien kamen Menschen zur besagten Stunde nach Lochau, wo Stifel von der Kanzel predigte. Die achte Stunde verstrich. Nichts geschah. Um Schlag neun wurde Stifel in Haft genommen.

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Michel Stifel (1487–1567)

Er verlor seine Pfarrstelle und hatte es allein seinem einflussreichen Freund Martin Luther zu verdanken, dass er anderthalb Jahre später ein neues Amt im nahen Holzdorf bekleiden durfte, wo er sich in das nächste Denkabenteuer stürzte: die Arithmetik und Algebra.Mit Leidenschaft holte er nach, was ihm während seiner kirchlichen Laufbahn entgangen war. Zu seiner Einstiegslektüre gehörte die populäre Rechenfibel von Adam Ries. Ausdrücklich lobte Stifel dessen „holdselige“ Exempla. Und doch kam ihm das Buch zwanzig Jahre nach dem Erstdruck bereits veraltet vor. Seiner Ansicht nach führte es in eine Sackgasse, weil die darin erläuterten Lösungsverfahren keinen Aufstieg zu jener höheren Mathematik ermöglichten, für die er sich zunehmend begeisterte.

Deutsche Arithmetica

Ries hatte bewusst auf eine allgemeine Gleichungslehre verzichtet. Stifel schrieb eine „Deutsche Arithmetica“, in der er seine Leser Schritt für Schritt an das Rechnen mit unbekannten Größen heranführte. Dazu ging er die Rechenaufgaben seines Vordenkers kurzerhand noch einmal durch, behandelte sie aber auf seine Weise. Sein erstes Exempel: „Einer spricht zu etlichen Gesellen / Got grüsse euch alle dreissig. Antwort jr einer. Wenn unser noch sovil / und halb sovil weren / so weren unser 30. Wievil sind jrer?“ In diesem Beispiel ist die unbekannte Größe
die Zahl der Gesellen. Was wir heute „x“ nennen, bezeichnete Stifel als „sum“. So wie man von einem reichen Mann sage, er habe eine große Summe Geld, so wolle er „1 sum“ setzen für einen Haufen Gulden oder Pfennige, „den ich noch nit gezelet oder gerechnet hab“. Oder eben für eine unbestimmte Anzahl von Gesellen. In der Textaufgabe ist nicht nur von 1 sum die Rede, sondern von noch einmal so viel und halb so viel, also von 1 sum + 1 sum + 1-2 sum. Die sind zusammen 30. Damit sind alle wesentlichen Informationen beisammen: 5-2 sum machen 30. Die Gleichung formte Stifel nach den Regeln der „Kunstrechnung“ um, indem er beide Seiten verdoppelte und durch 5 teilte. „Darumb ist 1 sum gerechnet auff 12 Gesellen.“

Literatur-Tipp

Thomas de Padova
Alles wird Zahl – Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand
Hanser 2021, 384 S., 25 Euro

Die Lösung sei 12. Stifel rechnete konsequent mit der Unbekannten, mit Symbolen wie „+“, „–“ und dem Wurzelhaken „√“. Schon Pacioli hatte in seiner „Summa“ Symbole für diese Rechenoperationen verwendet, allerdings Buchstabenkürzel wie p (für „più“ oder „plus“), m (für „meno“ oder „minus“) und R (für „Radix“ oder „Wurzel“). Stifel gab jenen Zeichen den Vorzug, die man sogleich als mathematische Symbole erkannte und die sich von Deutschland aus in Frankreich und England verbreiteten – auch dank seiner 1544 gedruckten „Arithmetica integra“. In diesem Mathematikbuch behandelte er auch anspruchsvolle quadratische Gleichungen in der neuen Formelsprache. Für ihre Lösung stellte Stifel eine allgemeine Regel auf. Und wer sie befolgte, der stieß wie von selbst auf mathematische Objekte, die von nun an den Status als Zahlen beanspruchten, etwa die Null, negative Zahlen oder irrationale Zahlen.

Erweiterung des klassischen Zahlenverständnisses

Dem stand das klassische Zahlenverständnis entgegen. Von alters her galten als Zahlen nur aus Einheiten zusammengesetzte Größen: 2, 3, 4 und so fort. Stifel bezeichnete die negativen Zahlen als „erdachte Zahlen“, als „numeri ficti“. Die Erschaffung von Zahlen kleiner als null geschehe jedoch zum höchsten Nutzen der Mathematik. Denn auch mit ihnen könne man rechnen, wobei besondere Regeln zu beachten seien, etwa bei der Multiplikation „minus mal minus ergibt plus“ oder der Division. „Wenn ich also −24 durch −6 dividiere, dann sage ich, dass −6 in −24 viermal enthalten sei“, so Stifel. Mit einer Reihe wie −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 gab Stifel den Zahlen insgesamt eine Ordnung. Anschließend setzte er eben diese Reihe in Beziehung zu einer zweiten, der berühmten Folge 2, 4, 8, 16 …, bei der jede neue Zahl doppelt so groß ist wie die vorhergehende.Man kann sie in der Form 2n schreiben und für n die natürlichen Zahlen 1, 2, 3 … einsetzen.So erhält man die Glieder 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 und so fort. Stifel führte eine neue Bezeichnung in die Mathematik ein: Er nannte die Hochzahl n „Exponent“. Mithin entspricht eine Verdopplung mit jedem Schritt dem, was wir heute, seiner Wortschöpfung folgend, „exponentielles Wachstum“ nennen. Eine Tabelle aus seiner „Arithmetica integra“ verdeutlicht die Beziehung zwischen dem Exponenten (obere Zeile) und der Folge 2n:

–3    –2    –1     0   1   2   3   4    5     6
1/8  1/4    1/2     1   2   4  8  16  32   64

Wie wir hier sehen, ließ Stifel für den Exponenten auch negative Werte zu. Die Idee dahinter: Die Zahlen 2n halbieren sich von rechts nach links mit jedem Schritt, also 20 = 1, 2−1 = 1-2, 2−2 = 1-4, 2−3 = 1-8 . Stifels Tabelle illustriert einmal mehr die unschätzbaren Vorteile des schriftlichen Rechnens gegenüber dem gegenständlichen Rechnen mit Rechensteinen auf einem Brett. Kalkulationen auf dem Rechenbrett sind so vergänglich wie das gesprochene Wort. Um Rechnungen in ihrem Verlauf festzuhalten, um vielschichtige Beziehungen zwischen Zahlen zu erkennen und weiterzuentwickeln, bedurfte es des Mediums der Schrift. So fand Stifel als Nächstes heraus, wie man mit Exponenten rechnet: Multipliziert man eine Zahl 2n mit einer Zahl 2m, dann ist das Ergebnis 2n+m. Es genügt, die Exponenten zu addieren. Seine Kreativität war außergewöhnlich und doch bezeichnend für eine ganze Epoche: für das Erwachen der Mathematik im Europa der Renaissance.

Über den Autor

Thomas de Padova

studierte Physik und Astronomie in Bonn und Bologna. Er war Wissenschaftsredakteur beim Tagesspiegel und arbeitete 2014 als Journalist in Residence am Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte. Zuletzt erschienen u. a. „Allein gegen die Schwerkraft. Einstein 1914–1918“ und „Nonna“.