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Schattenskulpturen und Molekülaufbau – der magische Winkel zwischen Mathematik, Kunst und Chemie

Eine auf den ersten Blick völlig unförmige Figur wird um eine Achse gedreht. Plötzlich nimmt ihr Schatten die Gestalt einer aus einer Kindersendung wohlbekannten Maus an. Dreht man sie weiter, erscheinen nacheinander die beiden besten Freunde der Maus: ein Elefant und eine Ente. Wie kann das sein?

Ein Beitrag von Dr. Rahel Brugger, Dr. Oliver Straser, Dr. Peter Steurer, Prof. Dr. Katja Maaß

„Magic Angle Sculptures“ sind Skulpturen, die, wenn man sie dreht, drei verschiedene, vorgegebene Schatten werfen können (s. Abbildung 1).
Bemerkenswert an diesen „magischen“ Skulpturen ist nicht nur die Vielfalt der Schatten, die sie erzeugen, sondern auch ihre zunächst scheinbar abstrakte und verwirrende Form, die erst durch die Projektion der Schatten ihre volle Wirkung entfaltet. Die von dem Chemiker John V. Muntean beispielsweise aus Lego gebauten, besonders schönen Exemplare werden bei YouTube hunderttausendfach angesehen. Diese Kunstwerke verzaubern und bieten gleichzeitig eine gute Gelegenheit, in mathematische Fragestellungen einzusteigen. Die Körper lassen sich relativ leicht mit CAD-Programmen selbst designen und sind in der Regel auch gut mit einem einfachen 3-D-Drucker druckbar. Entsprechend ergeben sich Anknüpfungspunkte zu dem Fach Technik in den Bereichen Computer-Aided Design und 3-D-Druck und somit auch eine gute Möglichkeit für fächerübergreifenden MINT-Unterricht. Der magische Winkel, der bei den Skulpturen eine wichtige Rolle spielt, findet sich auch in der Chemie und der Kernspintomografie wieder.

Vorlagen für Schattenskulpturen aus dem 3-D-Drucker

Hier können Sie sich kostenlos und ohne Vorkenntnisse 3-D-Dateien herunterladen und mit einem 3-D-Drucker ausdrucken:

In vielen Städten gibt es auch Makerspaces, die die kostenlose Nutzung von 3-D-Druckern ermöglichen und beim Download, Slicen und Drucken unterstützen. Es gilt hier allerdings zu beachten, dass der Druck der Skulpturen recht lange dauert.

Was steckt geometrisch dahinter?

Die Geometrie hinter der Magie zeigt Abbildung 2. Tatsächlich kommt die komplizierte Form der Schattenskulpturen durch ein mathematisch einfaches Verfahren zustande: Drei Figuren (im Bild rot, blau und grün), jeweils mit derselben Höhe, Breite und Tiefe, werden orthogonal zueinander ausgerichtet; anschließend wird die Schnittmenge gebildet. Auf diese Weise erhält man ein Objekt, das in drei orthogonale Richtungen jeweils einen der vorgegebenen Schatten wirft. Dass dies funktioniert, kann man sich folgendermaßen klarmachen: Beleuchtet man beispielsweise nur die blaue Sternfigur von oben, so ergibt sich ein quadratischer Schatten. Es ist also einleuchtend, dass die Schnittmenge der blauen und der roten Figur von oben beleuchtet einen herzförmigen Schatten wirft. Ebenso wirft sie einen sternförmigen Schatten zur Seite.

Schattenskulpturen entstehen als
Schnittmenge dreier Formen | © ICSE Freiburg

Mit etwas Glück wirft dieses Objekt in die dritte, dazu orthogonale Richtung immer noch einen quadratischen Schatten oder zumindest einen Schatten, der groß genug ist, darin die Blume unterzubringen – das ist nicht immer der Fall, aber wahrscheinlich, wenn man Figuren wählt, die einen Großteil des Quadrats ausfüllen und alle Kanten des Quadrats berühren. Schneidet man auch noch die Blume aus dieser dritten Richtung aus, erhält man die gewünschte Figur.

Drehachse und magischer Winkel | © ICSE Freiburg

Doch wie funktioniert die Sache mit dem Drehen? Stellt man sich die ursprünglichen drei Formen als in einen Würfel eingeschrieben vor, so hat die Diagonale dieses Würfels eine ganz besondere Eigenschaft: Dreht man den Würfel nämlich um diese Achse, so tauschen die Flächen des Würfels ihre Plätze. Für die Skulptur bedeutet das: Statt in drei unterschiedliche Richtungen Schatten zu werfen, kann man auch die Projektionsrichtung beibehalten und stattdessen die Skulptur um die Würfeldiagonale drehen. Entscheidend ist hier der Winkel zwischen der Projektionsrichtung und der Drehachse. Diesen Winkel bezeichnet man als magischen Winkel, daher auch der Name „Magic Angle Sculpture“. Er beträgt ungefähr 55 Grad (s. Abbildung 3). Für den Winkel zwischen der Drehachse und der Fläche, auf die der Schatten fällt, ergibt sich daraus ein Winkel von etwa 35 Grad. Auch außerhalb von gestalterischer Kunst lassen sich also solche Schattenskulpturen im Schulunterricht einsetzen, etwa in den Fächern Mathematik oder Chemie.

Entscheidend ist hier der Winkel zwischen der Projektionsrichtung und der Drehachse. Diesen Winkel bezeichnet man als magischen Winkel, daher auch der Name „Magic Angle Sculpture“. Er beträgt ungefähr 55 Grad (s. Abbildung 3). Für den Winkel zwischen der Drehachse und der
Fläche, auf die der Schatten fällt, ergibt sich daraus ein Winkel von etwa 35 Grad. Auch außerhalb von gestalterischer Kunst lassen sich also solche Schattenskulpturen im Schulunterricht einsetzen, etwa in den Fächern Mathematik oder Chemie.

Der magische Winkel im Mathematikunterricht

Eine Anwendungsmöglichkeit der magischen Schattenskulpturen im Mathematikunterricht ist, die Schüler:innen herausfinden zu lassen, welcher Winkel für die Drehachse der Schattenskulpturen funktioniert. Hier gibt es je nach Kenntnisstand verschiedene Möglichkeiten, den magischen Winkel zu bestimmen:

  • Man kann an einer magischen Schattenskulptur messen, welcher Winkel nötig ist, damit alle drei Schatten korrekt erscheinen.
  • Man kann ein Kantenmodell eines Würfels inklusive der Diagonale basteln und darin den Winkel messen.
  • Man kann eine längengetreue Skizze der beteiligten Strecken machen und den Winkel darin messen.
  • Man kann den magischen Winkel mithilfe des Satzes des Pythagoras und trigonometrischer Funktionen ausrechnen
Messen des magischen Winkels in einer Skizze sowie Berechnung durch trigonometrische Funktionen | © ICSE Freiburg

Der magische Winkel in der Chemie

Das Doppelte des magischen Winkels, also ca. 109,47 Grad, ist in der Chemie als Tetraederwinkel bekannt, der Bindungswinkel von tetraederförmigen Molekülen wie Methan. Der magische Winkel spielt auch in der chemischen Analytik eine prominente Rolle. Magic-Angle-Spinning ist hier eine Technik zur Verbesserung der Signalqualität in der Festkörper-Kernspinresonanzspektroskopie (NMR-Spektroskopie), die
einer unerwünschten Linienverbreiterung in den Spektren entgegenwirkt. Sie beruht auf der sehr schnellen Rotation der Probe während der Messung mit bis zu 130.000 Umdrehungen pro Sekunde um eine Achse, die im Vergleich zum Magnetfeld um den magischen Winkel gekippt ist.

Eigene Schattenskulpturen erstellen

Gerade im Rahmen eines größeren Projekts bietet es sich an, mit einem CAD-Programm magische Schattenskulpturen mit eigenen Motiven zu erstellen. Falls keine Vorkenntnisse in Computer-Aided Design vorhanden sind, empfehlen wir die Software Tinkercad. Sie ist einsteigerfreundlich, hat aber eingeschränkte Möglichkeiten, wodurch sich hier ein zusätzliches, kleines Matheproblem ergibt: Man kann mit Tinkercad Mengen vereinigen und voneinander abziehen, nicht aber direkt miteinander schneiden. Wie kann man trotzdem durch geschickte Kombination von Vereinigung und Differenz die Schnittmenge bilden? Eine Anleitung finden Sie in unserem Video:

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Weitere Informationen

Falls im Unterricht sowieso mit CAD-Programmen gearbeitet wird, kann natürlich auch eine Software verwendet werden, die mehr Einarbeitung braucht. Dafür sind in dem Fall für das Schneiden von Mengen keine Umwege nötig, und es sind komplexere Designs möglich. Die „Maufante“ wurde mit Onshape erstellt. Hier sehen Sie die „Maufante“ in Aktion und erfahren, wie ihre Geometrie genau funktioniert:

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