Skip to content

Das Sofaproblem: einfach zu verstehen, aber ungelöst

Man stelle sich vor, man zieht gerade um und auch das Sofa soll mit. Es wäre ja auch zu schön, wenn alles glattlaufen würde. Und so passiert’s: Das Sofa passt im Flur nicht um die Ecke. Aber wie kann das ein ungelöstes Problem der Mathematik sein?

Für ein gegebenes Sofa kann man leicht nachrechnen, ob man hängen bleibt oder nicht. Die offene Frage ist, wie groß die Grundfläche eines solchen Sofas maximal sein kann, damit es um die Ecke eines Flurs der Breite 1 passt. Während eine exakte Lösung nicht bekannt ist, kann man einige Aussagen bezüglich der gesuchten maximalen Fläche treffen.
Als Mathematiker trifft man zunächst Annahmen. Erst mal wollen wir nur starre Gegenstände zulassen. Um weniger von Verhältnissen der Größen von Flur und Sofa reden zu müssen, legen wir die Breite des Flurs auf 1 fest; und zwar „vor“ und „hinter“ der Ecke, die genau rechtwinklig sein soll. Für die Grundfläche eines Sofas schreiben wir A.

Geschickt rotieren

Gervers Sofa mit 18 Kurvensektionen

Um sich an das Problem heranzuwagen, kann man jetzt mal ausprobieren, was funktioniert. Ein Würfel mit Seitenlängen 1, d. h. A = 1 ⨯ 1 = 1, passt um die Ecke, wenn man ihn von der einen Seite so weit schiebt wie möglich und dann von der anderen Seite der Ecke weiterzieht. Wir sehen an diesem Beispiel: Die maximale Grundfläche beträgt auf jeden Fall mindestens 1 (A ≥ 1). Ist es vielleicht möglich, einen größeren Gegenstand zu nehmen? Nein, denn man kann noch einen größeren Gegenstand konstruieren, den man um die Ecke schieben (rotieren) kann. Das Rotieren geht so: Nimmt man einen Halbkreis mit Radius 1 – mit der flachen Seite zur inneren Seite der Ecke – und schiebt ihn bis zur gegenüberliegenden Wand, dann kann man ihn an der unteren Ecke um die Ecke ziehen. So finden wir eine Fläche der Größe A = π/2 ≈ 1,571, was schon mal deutlich größer als 1 ist.

Telefonhörer statt Sofa

Aber man kann noch weiter kommen: John Hammersley, Mathematiker in Oxford, hat ein Objekt in der Form eines (alten) Telefonhörers konstruiert, dessen Fläche π/2 + 2/π ≈ 2,207 beträgt. Der Trick besteht darin, an der Innenseite eine passende Aussparung einzubauen, die sich an der spitzen Ecke entlang bewegen kann. Der „Telefonhörer“ besteht einfach aus zwei Viertelkreisen an den Seiten und einem Rechteck in der Mitte, aus dem innen ein Halbkreis „herausgefräst“ wurde. Diese einfache Konstruktion hat der amerikanische Mathematiker Joseph Gerver verfeinert, indem er eine optisch ähnliche Form aus 18 Kurvensektionen zusammengesetzt hat. Die vielen Kurvensektionen sind nötig, um den Platz auf der anderen Seite optimal auszunutzen. Damit kommt er auf eine leicht größere Fläche von A ≈ 2,219. Hammersley hat sich auch bemüht, eine möglichst niedrige Obergrenze für die maximale Fläche zu finden. Als solche obere Schranke hat er 2 √2 ≈ 2,828 identifiziert. Man beachte den überraschend schönen (d. h. kürzen) Zahlausdruck. Vor Kurzem, im Jahr 2017, haben jedoch zwei Mathematiker eine niedrigere obere Schranke von 2,37 ermittelt. Wo zwischen 2,219 und 2,37 liegt nun das wahre Maximum? Man weiß es nicht. Vielleicht kann man mit Kreativität und eigenen Ideen die Konstruktion weiter verbessern. Oder eventuell etwas über ein erweitertes Problem herausfinden; zum Beispiel für den Fall, dass am Ende des Flurs eine weitere Ecke in die andere Richtung folgt – dann muss der Telefonhörer auch auf der anderen Seite ausgefräst werden und ähnelt einer 8.
Das Problem ist jedenfalls ein gutes Beispiel für anschauliche und leicht zu verstehende Probleme der Mathematik, die man mit komplexen Methoden behandeln kann, um dann am Ende klare Aussagen über die Realität treffen zu können. In der Mathematik gibt es viele solche Probleme, die ungelöst sind. Wer sich in die Probleme selbst hineindenkt und einen Ansatz findet, den andere bisher übersehen haben, kann zur Forschung eigene Resultate beitragen.

 

Tim M. Baumgartner, Deutsches Jungforschernetzwerk – juFORUM e. V.

Beitrag teilen:

Facebook
Twitter
LinkedIn
Pinterest
XING
WhatsApp
Email

Ähnliche Beiträge

Header_Entdeckt_02-2023 (18)
30. November, 2023
Die Versauerung der Ozeane hat dem Helmholtz-Zentrum für Polar- und Meeresforschung zufolge einen erheblichen Einfluss auf marine Lebensformen, insbesondere auf jene, die ihre Skelette und Schalen aus Kalk aufbauen (zum Beispiel Korallen, Muscheln, Schnecken, Kalkalgen). Diese Organismen spielen eine essenzielle Rolle im marinen Ökosystem. Der niedrigere pH-Wert des sauren Wassers beeinträchtigt jedoch ihr Wachstum und kann das gesamte Ökosystem aus dem Gleichgewicht bringen.
Header_Entdeckt_02-2023 (19)
30. November, 2023
Die Anschaffung von Unterrichtsmitteln ist oftmals eine kostspielige Angelegenheit. Auf der Suche nach Alternativen, die zudem die Selbstständigkeit, Kreativität und das handwerkliche Geschick von Kindern fördern, lohnt sich der Blick über Ländergrenzen hinweg. So zeigt der informelle Sektor in den wirtschaftlich ärmeren Ländern unserer Erde Improvisationstalente und einen innovativen Reichtum, den man in der formalen Schule westlicher Staaten oft vergeblich sucht. Not macht erfinderisch – sie provoziert Einfälle auch für scheinbare Abfälle, und es gibt offenbar nichts, was sich nicht durch Recycling herstellen lässt.
Raumfahrtmedizin_ORP
Gesponserte Inhalte
12. Oktober, 2023
Das Schulmaterial der Deutschen Raumfahrtagentur im DLR und Klett MINT erklärt anschaulich, wie Astronautinnen und Astronauten die Veränderungen ihres Körpers erleben, wenn sie ins Weltall reisen und welchen Nutzen Ihre Erfahrungen für uns auf der Erde haben.
coocazoo_Blog_Schlau_mit_Wow_neu
Gesponserte Inhalte
20. September, 2023
Die kompakte, fächerübergreifende Unterrichtsreihe für die 3. und 4. Klasse aus dem Bereich Bildung für nachhaltige Entwicklung (BNE) unterstützt Ihre Schüler:innen, fundierte Entscheidungen bei der Rettung unseres Planeten zu treffen. Am Beispiel von Plastikmüll lernen sie Zusammenhänge kennen und verstehen.
MZ-01-23_Beitragsbild (1)
7. Juli, 2023
Denken Sie ab und zu einmal an Ihre Chemie-Unterrichtsstunden zurück? Haben Sie damals viel selbst experimentieren dürfen? Oder hätten Sie gerne mehr experimentiert? Diese Erfahrung teilen viele der Teammitglieder im Team Science & Education des JungChemikerForums (JCF) der Gesellschaft Deutscher Chemiker e.V. Sie haben sich daher entschlossen, einen Chemie Escape-Room für Schüler*innen zu entwickeln, um diese für die MINT-Fächer zu begeistern.
MZ-01-23_Beitragsbild
30. Juni, 2023
Wir leben in einer VUCA-Welt. Der Begriff wurde bereits Mitte der 1980er-Jahre in den Wirtschaftswissenschaften geprägt und später vor allem für den Bereich moderner Unternehmensführung und -strategien auskonzipiert. VUCA ist eine englische Abkürzung und beschreibt den Zustand des gesellschaftlichen Zusammenlebens (und damit die Märkte und das Wirtschaften) als veränderlich (volatile), unsicher (uncertain), komplex (complex) und mehrdeutig (ambiguous).
OVS-Ausschnitt-Stunde-Wege-des-Lichts
Gesponserte Inhalte
16. Juni, 2023
Die Kultusministerien meldeten laut einer Umfrage des Redaktionsnetzwerks Deutschland (RND) vom 25. Januar 2023 genau 12.341 unbesetzte Stellen. Bis 2025 werden bereits 25.000 Stellen unbesetzt sein, vor allem in den MINT-Fächern. Was tun?
MZ-02-23_Beitragsbild (2)
9. Juni, 2023
Das Schmelzen der Gletscher hat globale Folgen für das Leben auf dieser Erde. Einerseits stellen die Gletscher unsere Süßwasserspeicher dar. Ein Schmelzen würde zuerst zu Überschwemmungen und dann zu Wassernot führen. Andererseits verursacht das Schmelzen der Gletscher Klimaänderungen und damit verbunden einen Temperaturanstieg auf der Erde. Genau hier setzt das Physikexperiment an, in dem die Schüler*innen der 5. und 6. Klasse das Schmelzen von Eis erforschen und einen Zusammenhang mit dem Klimawandel herstellen. Hierfür wird eine digitale Experimentierumgebung im Comicformat zur Verfügung gestellt, die durch gestufte Lernhilfen adaptives Lernen ermöglicht.
2
19. Mai, 2023
Der Unterricht der naturwissenschaftlichen Fächer verläuft häufig problemorientiert. Das bedeutet, es werden Problemlöseprozesse durchlaufen, in denen die Lernenden zunächst mit einer realen, authentischen oder konstruierten Problemsituation konfrontiert werden, aus der sich ein oder mehrere Fragestellungen ergeben, die für die Lernenden nicht auf Anhieb lösbar sind. Was sie aber leisten können, ist, auf der Basis ihres Vor- oder Alltagswissens Ideen, Vermutungen oder gar Hypothesen zur Fragestellung zu formulieren, diese dann durch Auswertung empirischer Daten zu prüfen und über die erhaltenen Ergebnisse die Fragestellung(en) zu beantworten.
MZ-01-23_Beitragsbild (1)
15. April, 2023
Der Klimawandel beschreibt die langfristigen Veränderungen von Faktoren wie der Temperatur, des Niederschlags und der Meeresströmungen. Er schreitet bedrohlich schnell voran, trifft vor allem besonders vulnerable Gruppen und betrifft uns alle. Längst ist von einer Klimakrise die Rede, die die Gesundheit, Sicherheit und Ernährung, ja die gesamte Existenz der Menschheit bedroht. Wir alle bekommen den Klimawandel im wahrsten Sinne des Wortes zu spüren. Laut Angaben des Weltklimarates IPCC (Intergovernmental Panel on Climate Change) sind 3,3 bis 3,6 Milliarden Menschen auf der Welt „hochgradig gefährdet“.
MZ-01-23_Beitragsbild
14. April, 2023
Eine verlorene Schiffsladung ist nicht nur ein Ärgernis für die Reederei, in den meisten Fällen hat solch ein Ereignis zudem negative Folgen für die Umwelt. Im Januar 1992 gelangten durch einen Sturm etwa 28.800 Kunststofftiere ins Meer. Unter dem Namen „Friendly Floatees“ wurden sie weltbekannt und halfen der Wissenschaft, die windgetriebenen Oberflächenströmungen besser zu verstehen.
LE-Klett-Mint-Kampagne-Header-4-1920x1080px
Gesponserte Inhalte
5. April, 2023
In der Grundschule sollen die Schülerinnen und Schüler nicht nur Wissen erwerben, sondern vielmehr eine Reihe wichtiger Kernkompetenzen, die sie für ihren weiteren Bildungsweg und ihr folgendes Alltagsleben benötigen. Mit dem Lernkonzept SPIKE TM Essential von LEGO® Education gelingt es Lehrkräften leicht, spielerisch-entdeckendes Lernen in ihren Klassenzimmern zu fördern und den Kindern damit alle relevanten Fähigkeiten schnell und nachhaltig zu vermitteln.