Skip to content

Dornröschen und die Wahrscheinlichkeitstheorie

Ein fiktives Experiment beleuchtet die vertrackte Beziehung zwischen objektiven und subjektiven Wahrscheinlichkeiten.

Vergessen Sie das romantische Märchen, in dem der Prinz das schöne Dornröschen mit einem Kuss aus hundertjährigem Schlaf erweckt. In der aktuellen Kontroverse um „sleeping beauty“ (so der englische Titel des Grimm’schen Märchens) geht es um eine Versuchsperson in einem merkwürdigen Gedankenexperiment.

Das Experiment

Am Sonntagabend geht Dornröschen zu Bett. Vor ihr verborgen wirft der Versuchsleiter eine faire Münze. Ist das Ergebnis „Kopf“, so weckt er sie am Montag, stellt ihr eine Frage und verabreicht ihr eine Droge, die sie nicht nur wieder in den Schlaf versetzt, sondern auch ihre Erinnerung an die Erweckung samt Befragung auslöscht. Fällt die Münze so, dass „Zahl“ oben liegt, führt er das Protokoll aus Aufwecken, Befragen und Löschen der Erinnerung am Montag und am Dienstag durch. Mit dem Aufwachen am Mittwoch ist das Experiment beendet. Das Vertrackte an der Geschichte ist die Frage, die der Versuchsleiter ihr während der kurzen Wachphasen stellt: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit, glaubst du, zeigt die Münze Kopf?“

Es gibt nämlich zwei Antworten. Die erste Antwort lautet: „Selbstverständlich ein halb!“ Dornröschen – die man sich als voll informierte und rationale Denkerin vorstellen muss – hat nämlich vor Beginn des Experiments erfahren, dass die Münze fair ist. Also war ihre subjektive Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ am Sonntag noch gleich 1⁄2, und durch das Aufwecken hat sie keine neue Information erworben, die das revidieren könnte. Schließlich hat sie schon am Sonntag gewusst, dass sie geweckt werden würde, und auch das hat an ihrer Einschätzung nichts geändert.

Die zweite Antwort aber lautet: „Selbstverständlichein drittel!“ Im Moment ihrer Erweckung befindet sich Dornröschen, wie sie weiß, nämlich in einem von drei Szenarien: Es ist Montag und die Münze zeigt Kopf, kurz (M, K); Montag und Zahl (M, Z); Dienstag und Zahl (D, Z).

Die drei Szenarien sind für sie ununterscheidbar, denn sie bekommt weder einen Kalender noch die Münze zu sehen. Also bleibt ihr nichts anderes übrig, als jedem Ereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit zuzuweisen. In nur einem der drei Szenarien zeigt die Münze Kopf, also …

Konzepte der Wahrscheinlichkeit

Wie kann es sein, dass es zu einer einfachen mathematischen Fragestellung zwei widersprechende Antworten gibt, zwischen denen man nicht durch schlichtes Nachrechnen entscheiden kann? Antwort: Das Problem ist nicht in erster Linie ein mathematisches. Aber das merkt man erst nach einer Weile. Das Konzept der Wahrscheinlichkeit im Allgemeinen und das der „subjektiven Wahrscheinlichkeit“ (in Dornröschens Kopf) im Besonderen sind problematischer, als es zunächst den Anschein hat.

In der Schulmathematik sind Wahrscheinlichkeiten in der Regel naturgegeben: Die Münze ist fair, und es wird nicht gefragt, wie man zu dieser Aussage kommt, sondern nur, was aus ihr folgt. Die Experimentalphysiker neigen dazu, Wahrscheinlichkeit als den Grenzwert der relativen Häufigkeit bei oftmaliger Wiederholung des Experiments zu verstehen (die „frequentistische“ Interpretation). Und Dornröschens Situation wird am ehesten durch die Bayes’sche Interpretation beschrieben, nach der Wahrscheinlichkeiten die unvollständige Kenntnis des Subjekts über das Objekt des Interesses widerspiegeln. In dieser Interpretation ist es auch sinnvoll, vergangenen Ereignissen Wahrscheinlichkeiten (ungleich 0 oder 1) zuzuschreiben. Subjektive Wahrscheinlichkeiten ändern sich mit jeder neuen Erkenntnis über das Objekt; und wenn alles mit rechten Dingen zugeht, streben sie mit jeder neuen Beobachtung (man denke an einen wiederholten Münzwurf) ganz frequentistisch gegen die „echten“ Wahrscheinlichkeiten. Was soll sich nun das arme Dornröschen denken?

In der Schule wäre jetzt ein Entscheidungsbaum angesagt. Zunächst fällt die Münze. Der linke Zweig „Kopf“ hat eine Wahrscheinlichkeit von 1⁄2 für sich und ist damit erledigt. An den rechten Zweig („Zahl“) muss man eine weitere Astgabel anhängen, deren Zweige heißen „Montag“ und „Dienstag“ und sind ebenfalls gleich wahrscheinlich. Also sind die Wahrscheinlichkeiten 1⁄2 für (M, K) und jeweils 1⁄4 für (M, Z) und (D, Z), woraus für Dornröschen die Antwort 1⁄2 folgen würde. Das klingt einleuchtend, ist aber falsch. Es gibt zwar einen Zufallsprozess, der darüber entscheidet, ob Kopf oder Zahl fällt, aber keinen, der darüber entscheidet, ob heute Montag oder Dienstag ist. Das Argument wirft objektive Wahrscheinlichkeiten (für den Münzwurf) und subjektive (nur in Dornröschens Kopf sind Montag und Dienstag gleich wahrscheinlich) durcheinander und liefert deswegen für keine der beiden eine brauchbare Aussage.

Für die Vertreter der Antwort 1⁄3 (die „Drittler“) spricht auch ein Argument der Wirtschaftswissenschaftler: Dornröschen ist eine rationale Nutzenmaximiererin. Jedes Mal, wenn sie aufwacht, wird ihr angeboten, auf Kopf oder Zahl zu wetten. Die richtige Einschätzung ihrer subjektiven Wahrscheinlichkeiten ist diejenige, die ihre erwartete Auszahlung maximiert. Mit diesem Argument findet das berüchtigte Ziegenproblem („Monty Hall problem“) eine allgemein anerkannte Lösung.

Hypothetisches Vergessen und subjektive Wahrscheinlichkeiten

Gleichwohl bleibt ein Unbehagen. Immerhin müsste Dornröschen eine Wahrscheinlichkeitsaussage treffen, die – wie sie weiß – objektiv falsch ist. Die „Halbierer“ interpretieren die Dornröschenfrage als die Frage nach der „objektiven“ Wahrscheinlichkeit. Die „Drittler“ verstehen sie laut dem Computerexperten Roland Stuckard so: „Mit welcher Wahrscheinlichkeit, glaubst du, erlebst du gerade eine Erweckung innerhalb des durch den Münzwurf ‚Kopf‘ induzierten Zweigs des Experiments?“

Und es bleibt das Argument der „Halbierer“, dass Dornröschen zwischen dem Einschlafen am Sonntag und dem Erwecken am Montag keine Information erworben haben kann, die ihre subjektiven Wahrscheinlichkeiten revidieren könnte. Was einem nur mühsam in den Kopf geht: Dieses Argument ist falsch, allerdings arbeitet das richtige mit dem umgekehrten Vorzeichen. Dornröschen erwirbt Information nicht, sondern verliert sie. Beim Aufwecken am Montag weiß sie nämlich nicht mehr, ob sie nicht schon einmal geweckt worden ist, in welchem Falle es schon Dienstag wäre. Aber beim Erwecken am Montag hat sie die Vergessensdroge noch gar nicht genommen, also auch noch nichts vergessen! Richtig, aber das hilft nicht. Sie muss damit rechnen, dass sie vergessen hat. Also ändert nicht nur echtes, sondern bereits hypothetisches Vergessen die subjektiven Wahrscheinlichkeiten – ein in der Tat gewöhnungsbedürftiger Gedanke.

Dr. Christoph Pöppe


Über den Autor: 

Dr. Christoph Pöppe, Jahrgang 1953, hat Mathematik und Physik studiert. Von 1989 bis 2018 war er (der einzige) Redakteur für Mathematik und verwandte Gebiete bei der Zeitschrift „Spektrum der Wissenschaft“.


Literatur- und Linktipps: 

Adam Elga: Self-locating belief and the Sleeping Beauty problem. www.t1p.de/dornroeschen1
David Lewis: Sleeping Beauty: reply to Elga. www.t1p.de/dornroeschen2
Pradeep Mutalik: Sleeping Beauty’s Necker Cube Dilemma. www.t1p.de/mutalik1
Pete Newbon: #MeToo, Sleeping Beauty and the often controversial history of fairy tales, 17. Januar 2018. www.t1p.de/smzf
Christoph Pöppe: Dornröschen und die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Spektrum der Wissenschaft 11/2019, S. 80–85

Beitrag teilen:

Facebook
Twitter
LinkedIn
Pinterest
XING
WhatsApp
Email

Ähnliche Beiträge

Mit Wasserstoff in eine grüne Zukunft
4. Juli, 2022
Das Pariser Klimaziel, die globale Erderwärmung auf 1,5 Grad Celsius zu beschränken, könnte noch erreicht werden. Aber es ist eine Herkulesaufgabe, für die wir den Ausbau der erneuerbaren Energien vervielfachen müssen. Und wir brauchen sogenannten grünen Wasserstoff, der mithilfe von regenerativem Strom hergestellt wird. Die Technologie spielt eine Schlüsselrolle auf dem Weg zur Klimaneutralität, die wir weltweit bis Mitte des Jahrhunderts erreichen wollen.
Der menschliche Faktor oder wie berufliches   Miteinander gelingen kann
28. Juni, 2022
Es ist unumstritten: Beruflicher Erfolg hängt von einer guten Ausbildung ab. In den letzten Jahrzehnten hat allerdings auch der Wert von sozialen Fähigkeiten wie Kooperationsbereitschaft erheblich zugenommen. Fähigkeiten wie diese lassen das berufliche Miteinander besser gelingen. Und dafür sind typische menschliche Verhaltensmuster verantwortlich.
Kollision der Giganten
8. Juni, 2022
Die Zukunft der Milchstraße wird turbulent – erst stößt sie mit der Andromeda-Galaxie zusammen, später auch mit der Triangulum-Galaxie. Hier ein Vorausblick auf den Crash der Sterneninseln.
Computer: Zufälle gibt es nicht
30. Mai, 2022
Ein Zufall lässt sich am besten definieren als ein nicht vorherzusagendes Ereignis. Diese Eigenschaft kommt in vielen Bereichen zur Anwendung, sei es im Glücksspiel oder bei der Auswahl von Teilnehmer*innen an Meinungsumfragen. In diesen Fällen sind Zufallszahlen die Basis für Fairnessund Sicherheit. Auch für Verschlüsselungen sind Zufallszahlen unentbehrlich. Computer und Taschenrechner kennen jedoch keinen Zufall.
Schwarmverhalten – lieber gemeinsam als einsam
23. Mai, 2022
Nicht nur wir Menschen mögen und brauchen Gesellschaft, das Gleiche gilt für viele Tiere. In der Gemeinschaft nutzen sie Sinne und Intelligenz der vielen. So werden Fähigkeiten entwickelt, die ein Individuum allein nicht hat.
Batterien – Speicher der Zukunft?
6. Mai, 2022
Die Erfindung der Lithium-Ionen-Batterie hat unseren Alltag revolutioniert. Nicht nur das handliche Smartphone, sondern auch kleine Laptops mit langer Batterielaufzeit wurden dadurch möglich. Darüber hinaus hat die Batterie die Elektromobilität alltagstauglich gemacht. Doch wie sieht es mit der Nachhaltigkeit des kleinen Stromspeichers aus?
Wie unsere Gedanken entstehen und warum wir sie lesen können
13. April, 2022
Im Lied heißt es: „Die Gedanken sind frei, kein Mensch kann sie wissen …“. Gilt dies auch noch heute? Oder gelingt es mit modernen Methoden, doch herauszufinden, was uns gerade beschäftigt? Der MINT Zirkel sprach mit dem Hirnforscher Prof. Dr. John-Dylan Haynes über den Stand der Forschung.
Neues aus der Milchstraße
28. März, 2022
In den vergangenen Jahren hat sich das Verständnis von der Struktur und Entwicklung der Milchstraße enorm erweitert und teilweise gewandelt. Entdeckt wurden darin neue Spiralarme und gigantische Gebilde, weiträumige Schwingungen sowie uralte Reste kannibalisierter Zwerggalaxien.
Kann der Hund Analysis?
14. März, 2022
Wenn ein Hund nicht auf dem kürzesten (geraden), sondern auf dem zeitoptimalen (geknickten) Weg ins Wasser springt, um den Ball zu apportieren, löst er ein Minimierungsproblem. Das ist immerhin so kompliziert, dass es als Klausuraufgabe im zweiten Semester Analysis taugt. Und da kommt Timothy Pennings, Mathematikprofessor an einer kleinen Universität im ländlichen Michigan, und behauptet, sein Hund Elvis könne das auch!
Vom Feld bis auf den Teller: Was sind die besten Zutaten für kulinarischen Klimaschutz?
4. März, 2022
Unsere Ernährung ist ein echtes Schwergewicht auf der Klimabilanz. Mit durchschnittlich 1,7 Tonnen CO2-Äquivalenten pro Kopf und Jahr schlägt diese beim CO2-Fußabdruck einer und eines jeden Deutschen zu Buche. Zum Vergleich: In Indien verursacht ein Mensch für seinen gesamten Lebensstil im Durchschnitt etwa 1,7 Tonnen CO2-Emissionen. Höchste Zeit also, unsere Ernährungsgewohnheiten auf Klimadiät zu setzen.
AlphaFold – ein Algorithmus für das Protein-Origami
22. Februar, 2022
Ob Einzeller oder Vielzeller, die Lebensfunktionen in der Zelle basieren auf winzig kleinen Grundbausteinen, den Proteinen. Wie einzelne Proteine genau aussehen, wird in der Strukturbiologie erforscht. Dort werden die 3-D-Strukturen von Proteinen sichtbar gemacht und aus ihrem Aufbau zelluläre Funktionen und Wirkmechanismen abgeleitet. Mit dem lernfähigen KI-System AlphaFold 2.0 hat die Strukturbiologie nun neue Unterstützung.