Wundersame Welt der Paradoxa
Es gibt immer wieder Momente, in denen Menschen verwundert auf von ihnen nicht so einfach aufzulösende innere Widersprüche stoßen. Und genau da beginnt das rätselhafte Universum der Paradoxa, über alle Wissenschaftsdisziplinen hinweg.
Ein Beitrag von Prof. Dr. Michael Schreckenberg
Da Paradoxa offensichtlich übergreifend auftreten, ist eine Klassifikation schwierig. Aber es bietet sich zumindest eine Unterteilung nach Wissenschaftsdisziplinen an. Und selbst dabei hat man es mit einem Strauß unterschiedlichster Ausprägungen zu tun. Aber einige „Exemplare“ stechen hervor, ob aus historischer oder inhaltlicher Sicht. Wer einmal in die Thematik hineingeschnuppert hat, kann durchaus süchtig werden. Aber Vorsicht, kontroverse und hitzige Diskussionen können oft die Folge sein. Denn nicht selten sind Auflösungen der „Hirnverzwirbler“ schwer zu kommunizieren und erfordern einiges an Überzeugungsarbeit, gerade auch bei jungen Menschen.
Gerne wird in dem Zusammenhang auch von „Denkfallen“ gesprochen, was nicht ganz falsch ist. Viele Paradoxa sind speziell als Falle konstruiert. Am Ende aber sollte ein Lerneffekt stehen und das kritische Denken geschärft werden.
So bleibt schließlich noch die Frage, was ein Paradoxon eigentlich ist. Hier sollte man sich auf eine einfache Definition einigen, die weit auslegbar ist und den gesamten Themenkomplex abdeckt. So kann man ein Paradoxon schlicht als etwas bezeichnen, das in sich widersprüchlich ist oder der menschlichen Intuition widerspricht. Bei der Auflösung steckt dann tatsächlich Wahrheit darin und diese führt letztendlich zu neuer Erkenntnis. Jemand hat mal eine schöne und ganz andere Definition formuliert, bei der ein Paradoxon als „Wahrheit, die auf dem Kopf steht, um Aufmerksamkeit zu erzeugen“ bezeichnet wird. Diesem Motto wollen wir im Weiteren uneingeschränkt folgen.
Die Sprache hat es in sich
Es ist schon lange bekannt, wie auf einfache Art in sich widersprüchliche Aussagen formuliert werden können, sogenannte Antinomien. Dabei spielt das „Lügner-Paradoxon“ (Beall 2025) eine herausragende Rolle. Denn schon im Neuen Testament, genauer in einem Brief von Paulus an Titus, steht geschrieben, dass ein Kreter sagt: „Kreter sind Lügner.“ Zugeschrieben hat man den Ausspruch Epimenides von Kreta. Nun ist damit noch nicht alles verloren, denn die Kreter müssen ja nicht immer lügen, nur manchmal. Abhilfe könnte dann die Erweiterung „Kreter lügen immer“ schaffen. Aber auch damit ist man noch nicht am Ziel, denn wenn der Satz wahr ist, dann lügen alle Kreter immer. So auch dieses Mal und es ist also falsch, dass Kreter immer lügen. Und man endet wieder bei den nur manchmal lügenden Kretern.
Das ungute Gefühl bei dieser Diskussion kommt daher, dass dabei der zweiwertigen Logik, nur mit wahr oder falsch, ausgewichen wird durch die dritte Möglichkeit „vielleicht“ oder „manchmal“. Um diesem Dilemma zu begegnen, kann man als Mensch den Satz sagen: „Ich lüge jetzt.“ Damit hat man eine echte Antinomie ohne Ausweg geschaffen. Es ist sehr instruktiv, die verschiedenen Interpretationen durchzuspielen und Lücken in der Argumentation aufzudecken.
Um Paradoxa von sogenannten Beinahe-Paradoxa abzugrenzen, muss ein endloser „Zirkelschluss“ (circulus vitiosus) vorliegen. Fast ein Paradoxon ist beispielsweise ein Hinweisschild mit der Aufschrift „Dieses Schild nicht beachten“. Nach einmaligem Lesen ist kein weiterer Durchgang gefordert.
Anders sieht es bei dem bekannten Barbier-Paradoxon von Bertrand Russell aus dem Jahr 1918 aus: „Der Barbier von Sevilla rasiert die und nur die männlichen Einwohner von Sevilla, die sich nicht selbst rasieren.“ Wie des Barbiers Bartwuchs heute aussieht, lässt sich nur erahnen.
Der unendliche Gewinn
In der Mathematik wimmelt es nur so von Paradoxa. Besonders relevant sind vor allem solche aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistik. Das Sankt-Petersburg-Paradoxon (Siegert 2010) zeigt auf anschauliche Weise, dass Erwartungswerte als einzige Entscheidungsgrundlage nicht notwendigerweise ausreichend sind. Zurück geht der Name auf Daniel Bernoulli (1738) und ein hypothetisches Casino in Sankt Petersburg.
So einfach es zu formulieren ist, so schwierig ist seine Auflösung. Es handelt sich schlicht um ein faires Münzwurfspiel mit Wahrscheinlichkeiten ½ für Kopf und Zahl. Dem Werfenden gegenüber steht der Spieler, der Geld gewinnt, sobald Kopf fällt. Passiert dies beim ersten Wurf, bekommt er einen Euro, beim zweiten zwei, beim dritten vier, usw. Die Gewinnsumme verdoppelt sich für jeden weiteren Wurf mit Zahl als Ergebnis, bis irgendwann Kopf kommt. Der Spieler wird nun gefragt, was er denn als Einsatz für das Spiel anbieten würde.
An dieser Stelle kommt der Erwartungswert ins Spiel. Gegenüber dem Gewinn halbiert sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren notwendigen Wurf. Der Erwartungswert besteht daher aus einer unendlichen Summe von identischen Summanden größer als Null (in diesem Fall ½). Da ist einem jeder Einsatz recht, locken doch unendlich viele Euro. Aber der Haken besteht darin, dass ja irgendwann tatsächlich Kopf fällt, und das nicht erst nach unendlich vielen Würfen. Damit ist der erwartete unendliche Gewinn nutzlos. Es ist viel Mühe investiert worden, um hier Abhilfe zu schaffen.
Das gelingt dadurch, dass eine Art Nutzenfunktion so eingeführt wird, dass die Summe endlich bleibt. Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass die erste verdiente Million für einen mehr wert ist als die darauf folgenden. Elon Musk wird sich auch nicht mehr so sehr freuen über eine weitere Milliarde, während die meisten „normal“ Verdienenden in dem Fall schon ein Fläschlein Schampus öffnen würden.
Die Bahn kommt, aber wann?
Auch bei dem Wartezeitparadoxon (Masuda 2020) spielt der Erwartungswert eine entscheidende Rolle. Man stelle sich einen perfekt funktionierenden ÖPNV vor (ja klar, ist schwer!), bei dem auf einer Bahnlinie exakt alle sechs Minuten ein Wagen kommt. Geht man zufällig zur Haltestelle, so hat man eine mittlere Wartezeit von drei Minuten, da man mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu jedem Zeitpunkt in dem Sechs-Minuten-Intervall ankommt.
Kommt die Bahn aber nur im Mittel alle sechs Minuten, so ändert sich das dramatisch. Jede Minute wird mit einem normalen Würfel bestimmt, ob in dieser eine Bahn kommt. Und nur wenn die Sechs gewürfelt wird, ist das der Fall. Der Erwartungswert für die Abstände zwischen zwei Bahnen ist wieder sechs Minuten. Meine Wartezeit im Mittel bei zufälligem Eintreffen beträgt nun aber sechs Minuten!
Anschaulich verstehen kann man das beim Spiel „Mensch ärgere dich nicht“. Denn sind alle Pöppel im Haus, muss man so lange würfeln, bis eine Sechs kommt. Und das sind im Mittel sechs Würfe. Allgemeiner ausgedrückt heißt das, bei einem Würfel mit N Seiten muss im Mittel N-mal geworfen werden, bis eine bestimmte Zahl kommt.
Gefährliche Statistik
Eigentlich handelt es sich beim Simpson-Paradoxon (5) nicht um ein solches im engeren Sinne, sondern eher um eine Fehlinterpretation von Daten nach Zusammenlegung von Rohstatistiken. Aber aufgrund seines geringen Bekanntheitsgrades und der gesellschaftlichen Relevanz lohnt sich auf jeden Fall ein Blick darauf. Bei der Formulierung soll auch durchaus auf eine kritische Diskussion hingewiesen werden, nämlich die Kriminalitätsstatistik von Ausländer:innenn.
Nehmen wir einmal an, in einer hypothetischen Kleinstadt leben 20.000 Einwohner:innen in zwei unterschiedlichen Stadtbezirken mit je 10.000 Einwohner:innenn, der Innenstadt und dem Speckgürtel. In der Innenstadt leben je 5.000 Deutsche und 5.000 Ausländer:innen mit einer relativ hohen, aber identischen Kriminalitätsrate von 10 Straftaten pro 1.000 Einwohner:innen pro Jahr. In diesem Fall also je 50 Straftaten von Deutschen und 50 von Ausländer:innen. Im Speckgürtel dagegen leben 9.000 Deutsche und nur 1.000 Ausländer:innen mit wiederum einer gleichen, aber sehr niedrigen Anzahl von einer Straftat pro 1.000 Einwohner:innen, also nur neun (Deutsche) und eine (Ausländer:innen). Damit ist klar, dass die Ausländer:innen insgesamt genauso „kriminell“ sind wie die Deutschen.
Fasst man die Ergebnisse allerdings für Deutsche und Ausländer:innen getrennt zusammen, also 14.000 Deutsche mit insgesamt 59 Straftaten und 6.000 Ausländer:innen mit 51 Straftaten pro Jahr, so ergibt sich ein komplett verändertes Bild. Dann sagt die Statistik nämlich, dass pro 1.000 Einwohner:innen von Deutschen 4,21 und von Ausländer:innen 8,5 Straftaten begangen werden, also eine doppelt so hohe Rate. Das verwundert an dieser Stelle schon sehr, ist aber vollkommen korrekt. Man kann die Situation noch dramatisieren, indem man annimmt, dass die Deutschen jeweils mehr Straftaten pro 1.000 Einwohner:innen begehen und trotzdem in der Gesamtbilanz die Ausländer:innen schlechter dastehen.
Mit den Zahlen kann man jetzt beliebig spielen und die Anwendungsfelder sind ganz unterschiedlich. Diese reichen von Durchfallquoten bei Prüfungen oder Zulassungszahlen an Universitäten (männlich/weiblich), Gerichts-/Todesurteilen (Hautfarbe) bis hin zu Behandlungsstatistiken (leichte/schwere Erkrankung) von Krankenhäusern. Dies ist ein ideales Feld für eigene Untersuchungen, zumal gerade heute Daten zuhauf verfügbar sind. Man kann das Problem auch mit der Addition von Vektoren veranschaulichen, wobei die Summe zweier Vektoren trotz jeweils kleinerer Steigung in Bezug auf ein Vergleichspaar am Ende in der Summe eine größere Steigung aufweist.
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Die Ziegen meckern immer noch
Es gab Zeiten, in denen sich Professoren mit Studenten und Mitarbeitern geprügelt haben sollen. Der Grund war das Ziegenproblem oder Monty-Hall-Problem, benannt nacht dem Moderator einer Spielshow (Keller 2019). Es ist heute kaum noch bekannt bei jüngeren Menschen, aber ab 1975 wurde darum hart gerungen. Es gibt immer noch Ungläubige, die sich jeder Erklärung widersetzen (was ein Anzeichen von Dummheit ist, ein anderes interessantes Thema!). Die Beschreibung ist wieder ganz einfach, die Rache kommt am Ende.
In einer Spielshow werden einem Kandidaten drei Türen präsentiert, wobei sich hinter zweien eine Ziege (heute wahrscheinlich aus Tierschutzgründen unmöglich) und hinter einer ein Auto (heute natürlich elektrisch) befindet. Der Kandidat möchte das Auto haben (heute auch nicht selbstverständlich) und sucht sich eine Tür aus. In dem Moment, vor Öffnen der Tür, schreitet der Moderator (der weiß, hinter welcher Tür das Auto steht) ein und öffnet eine Tür mit Ziege dahinter. Daraufhin fragt er den Kandidaten, ob er bei seiner Entscheidung bleibt oder zu der verbliebenen dritten Tür wechseln möchte. Und ja, das Wechseln verdoppelt die Gewinnchance.
Es sind wissenschaftliche Studien dazu angefertigt worden, welche Erklärung bei Schüler:innen welcher Altersgruppe die „erfolgreichste“ ist. Es gibt dabei ganz unterschiedliche Herangehensweisen.
Die meiner Meinung nach einfachste und überzeugendste ist, eine zweite Kandidatin einzuschleusen, die immer das macht, was der originale Kandidat nicht macht. Beide zusammen gewinnen also auf jeden Fall ein Auto. Bleibt der erste Kandidat bei seiner Wahl, so gewinnt er unabhängig von dem, was noch kommt, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1:3. Die neue Kandidatin gewinnt folglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2:3 das Auto. Hier kann man trefflich diskutieren und mit Wahrscheinlichkeiten jonglieren.
Fermi und die Aliens
Enrico Fermi, einer der ganz großen italienischen Physiker des vorigen Jahrhunderts, äußerte 1950 auf dem Weg zur Kantine in Los Alamos gegenüber Edward Teller die Frage: „Where is everybody?“ Jenseits der Erkenntnis, dass Gespräche auf dem Weg zum Mittagstisch durchaus wissenschaftliche Revolutionen auslösen können, hatte die simple Frage einen konkreten Hintergrund. Die heute als Fermi-Paradoxon (wissenschaft.de 2007) bekannte Überlegung betrifft die Frage, warum uns noch keine extraterrestrische Zivilisation kontaktiert hat, obwohl es Millionen Kandidaten dafür geben müsse. Entweder sind also die Annahmen falsch oder die Beobachtungen unvollständig. Also sind sie vielleicht schon unter uns?
Die wissenschaftlichen Hintergründe basieren im Wesentlichen auf der Drake-Formel (mdr Wissen 2024), die ein Produkt aus sieben Faktoren darstellt. Dabei wird aus der angenommenen Gesamtzahl der Sonnensysteme in unserer Milchstraße heruntergerechnet auf bewohnbare Planeten mit Leben. Dieses Produkt ist mit einer riesigen Unsicherheit behaftet, da jeder Faktor unsicher ist. Anhand dieser Formel kann man sehr schön diskutieren, wie sich Fehler nach und nach vergrößern.
Die NASA kam übrigens in einer neueren Veröffentlichung (Jiang 2022) zu dem Ergebnis, dass es eigentlich unmöglich ist, Kontakt aufzunehmen, denn intelligente Zivilisationen technologisch nur 500 Jahre Zeit haben zu kommunizieren. Dann würden sie sich selbst zerstören. Zurückzuführen versucht die Studie das auf einen systemischen Fehler der Intelligenz des Menschen, die zwar tolle Entwicklungen ermöglicht, die Folgen aber nicht genügend bedenkt. Das Phänomen ist als „Großer Filter“ bekannt. Ihn muss man passieren, um die Selbstzerstörung zu verhindern.
Buchtipps
Timm Grams: Klüger irren – Denkfallen vermeiden mit System, Springer 2016
Alvar Wenzel: Paradoxon – Gedanken zum logischen Denken, Books on Demand 2019
R. M. Sainsbury: Paradoxien, Reclam 2010
Gary Hayden, Michael Picard: Paradoxien – Von der Illusion bis zur Unendlichkeit: Vermeintliche Gegensätze, Librero 2016
Patrick Hughes, George Brecht: Die Scheinwelt des Paradoxons, Vieweg 1978
Paradoxa überall
Es ist unmöglich, mit ein paar Zeilen das Universum der Paradoxa zu durchforsten. Da lauern Schrödingers Katze, der Olbers’sche helle Nachthimmel, Hilberts Hotel, das ungleiche Zwillingspaar, die verdoppelte Kugel nach Banach-Tarski oder die überflüssige neue Straße nach Braess. Am schönsten aber ist es, als Aufgabe selbst neue Paradoxa zu konstruieren oder zu entdecken. Denn erst dann hat man das System so richtig verinnerlicht. Dabei viel Spaß!
Prof. Dr. Michael Schreckenberg
studierte Theoretische Physik an der Universität zu Köln und hatte bis 2025 an der Universität Duisburg-Essen die erste und einzige Professur weltweit für Physik von Transport und Verkehr. Seit über 30 Jahren beschäftigt er sich mit der Analyse, Modellierung, Simulation und Optimierung von Verkehr in großen Netzwerken.
Headerbild | © Prof. Dr. Michael Schreckenberg
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