Ungelöste Rätsel der Mathematik

Gauß stand gewissermaßen am Übergang zwischen dem Althergebrachten und dem Neuen und war indirekt auch am historisch vielleicht wichtigsten unlösbaren Problem der Mathematik beteiligt. Das entstammte ebenfalls der griechischen Antike und auch an ihm hatten sich – wie an den Konstruktionsproblemen – seitdem unzählige Mathematiker:innen ohne greifbares Ergebnis abgemüht. Es ging um Euklids Elemente. Der entscheidende Grund für die nachhaltige Wirkung dieses Weltbestsellers waren weniger die in ihm gesammelten geometrischen Resultate; vielmehr war es die Art und Weise, wie diese bewiesen wurden. Euklids Werk begann mit einigen wenigen einfachen Aussagen, den Axiomen, die offensichtlich wahr waren. Alles andere wurde mit rein logischen Argumenten aus diesen hergeleitet. Das war die sogenannte axiomatische Methode, die seitdem die Blaupause dafür lieferte, wie Mathematik betrieben wurde. Sie war der Grund dafür, dass mathematische Aussagen als zeitlos wahr angesehen wurden.

Es gab allerdings einen kleinen Schönheitsfehler. Eines der Axiome wirkte zu kompliziert. Es handelte sich um das sogenannte Parallelenpostulat, das in vereinfachter Form besagt, dass sich zwei Geraden, die eine dritte nicht im selben Winkel schneiden, irgendwann treffen werden. Sein Wahrheitsgehalt wurde zwar nicht angezweifelt, aber es war nicht so „offensichtlich wahr“ wie die restlichen Axiome, die Selbstverständlichkeiten konstatierten wie die, dass sich durch zwei Punkte eine Gerade ziehen lässt. Schon im Altertum hatten deshalb viele Mathematiker versucht, das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen herzuleiten und es dadurch überflüssig zu machen. Diese Bemühungen durchzogen die gesamte Geschichte der Mathematik bis ins 19. Jahrhundert. Und sie waren erfolglos.