Rätseln im Advent – die Basis einer Alphametik

Da in der Alphametik sechs verschiedene Buchstaben und damit auch Ziffern vorkommen, muss die Basis b mindestens 6 sein. Addiert man zwei Ziffern einer Spalte der Alphametik und den eventuellen Übertrag von 1 aus der Vorgängerspalte, kann die Summe s nur ein- oder zweistellig sein. Sie ist einstellig, wenn s < b ist, und man sieht dann keinen Unterschied zum Dezimalsystem. Für s ≥ b ist sie hingegen zweistellig, und die erste Stelle ist eine 1 und die zweite Stelle beträgt s – b. Unabhängig von der Basis b muss F = 1 sein. Aus der letzten Spalte folgt, dass O nicht 0 sein kann, da R dann auch 0 sein müsste. Wenn O = b – 1 wäre, müsste in der zweiten Spalte auch T = b – 1 sein, damit es einen Übertrag auf die erste Spalte gibt. Das ist aber unmöglich, somit kann O nur 2, 3, … oder b – 2 sein. Nehmen wir zunächst einmal b = 6 an. Dann kann O nur 2, 3, oder 4 sein. Probiert man jeden der drei Fälle durch, gelangt man jedes Mal zu einem Widerspruch. Also ist b ≠ 6. Bei b = 7, kann O = 2, 3, 4 oder 5 sein. Probiert man auch diese Fälle durch, findet man nur für O = 3 eine Lösung. Folglich ist die kleinste Basis b = 7 und die einzige Lösung von TWO + TWO = FOUR für diese Basis ist 523 + 523 = 1346.