Skip to content

Kann der Hund Analysis?

Wenn ein Hund nicht auf dem kürzesten (geraden), sondern auf dem zeitoptimalen (geknickten) Weg ins Wasser springt, um den Ball zu apportieren, löst er ein Minimierungsproblem. Das ist immerhin so kompliziert, dass es als Klausuraufgabe im zweiten Semester Analysis taugt. Und da kommt Timothy Pennings, Mathematikprofessor an einer kleinen Universität im ländlichen Michigan, und behauptet, sein Hund Elvis könne das auch!

Ein Beitrag von Dr. Christian Pöppe

Und dies kann Timothy Pennings immerhin durch ein korrekt durchgeführtes Experiment belegen. Er verschaffte seinem Hund Auslauf am Ufer des nahe gelegenen Michigansees, steckte mit dem Maßband eine Strecke am Ufer ab, warf, mitsamt dem Hund an der Wasserlinie stehend, einen Tennisball in den See und bestimmte sowohl dessen Position als auch den Punkt, an dem Elvis vom Laufen zum Schwimmen überging. Zusätzlich maß ein Helfer mit der Stoppuhr die Zeiten, die Elvis für beide Teilstrecken benötigte. Der hielt immerhin drei Stunden und 35 Messzyklen ohne Anzeichen von Ermüdung durch, und das bei einer Geschwindigkeit von durchschnittlich 6,4 Metern pro Sekunde an Land und 0,91 im Wasser. Das Ergebnis: Elvis findet die mithilfe der Analysis berechnete schnellste Route mit großer Genauigkeit. Dass er in der Tat die Zeit bis zum Erreichen des Balls optimiert und nicht etwa den eigenen Kraftaufwand, muss man aus seiner freudigen Erregung und seinem erwartungsvollen Hundeblick erschließen. Timothy Pennings zog mit öffentlichen Vorträgen zu diesem Thema durchs Land, die Herzen des Publikums flogen dem Hund – und vielleicht ein bisschen der Analysis – zu, und Elvis wurde berühmt. Im Gefolge von Pennings’ erster Veröffentlichung spekulierten Fachkollegen, ob der Hund die Ungleichung von Cauchy-Schwarz oder gar etwas Verzweigungstheorie und Variationsrechnung beherrsche, und die Nachricht von seinem Tod schaffte es sogar bis in die überregionale Presse.

Wie lassen sich Elvis’ „mathematische Fähigkeiten“ erklären?

Alles sehr nett; aber natürlich glaubt niemand im Ernst, Elvis würde in seinem Hundekopf die Laufzeit nach dem Absprungpunkt differenzieren, die Ableitung gleich null setzen und so weiter. Wie macht er es dann? Was physikalische Systeme so gern tun: irgendeine Energie minimieren, das tut Elvis nun gerade nicht – im Gegenteil. Photonen minimieren ihre Laufzeit von A nach B, auch wenn ihr Weg beim Übergang von Luft nach Glas einen Knick macht. Aber die machen ja auch Gebrauch von der Analysis, jedenfalls nach der Pfadintegraltheorie von Richard Feynman. Das Photon geht nicht nur den klassischen Weg, sondern sehr viele andere. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeitswellen integrieren sich alle auf, und man beobachtet ein Photon da, wo konstruktive Interferenz stattfindet. Das ist da, wo das Integral über eine Menge fast gleicher Wellenfunktionen geht, das heißt wo die Ableitung der Laufzeit nach einem geeigneten Parameter gleich null ist: Minimum der Laufzeit.

Nein, Elvis versteht auch nichts von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Aber es sieht fast so aus.

Elvis minimiert nicht seinen Kraftaufwand! Sonst
hätte er vielleicht einen kleineren Ast gewählt.

Also: Quantenmechanische Systeme können irgendwie Analysis. Aber für ein quantenmechanisches System ist Elvis viel zu groß. Vielleicht kann Elvis aus jeder Position einschätzen, welcher Weg ihn am schnellsten dem Ziel näher bringt, genauer, welche von zwei Geschwindigkeiten die größere ist: schwimmend direkt aufs Ziel zu oder die in Richtung Ziel weisende Komponente seiner Laufgeschwindigkeit an Land. Die letzte Größe nimmt ab, je näher er dem Ball kommt, bis auf null, wenn der Ball genau querab liegt. Irgendwann (Zwischenwertsatz) sind beide Größen gleich, und das ist der Absprungpunkt. Im Prinzip muss der Hund nur über die Fähigkeit verfügen, Geschwindigkeiten und deren Verhältnis einzuschätzen, was ihm ohne Weiteres zuzutrauen ist. Vor allem müsste er keinen Überblick über die Gesamtsituation haben, sondern käme mit lokalen Informationen aus. Die schöne Theorie wird durch die Realität widerlegt.

Auf dem Rückweg müsste nämlich Elvis, weil er mit lokaler Information – er ist im Wasser – den Vorteil des Landwegs nicht erfassen kann, den geraden, zeitaufwendigeren Weg wählen. Tut er aber nicht.

Dieses Diagramm zeigt den Laufweg A–D–B des Hundes ebenso wie die Laufzeit A–D–E. Der Maßstab ist so gewählt, dass der Hund an Land die Geschwindigkeit 1 hat.

Wie macht Elvis es nun wirklich?

Alda Carvalho und zwei ihrer Kollegen von der Universität Lissabon suchten und fanden eine Lösung ohne Analysis. Sie zeichneten den Weg des Hundes und die für jeden Teil dieses Wegs benötigte Zeit in dasselbe Diagramm. Oder, was auf dasselbe hinausläuft, sie dachten sich einen fiktiven Hund, der zeitgleich mit Elvis und mit derselben Geschwindigkeit losrennt, aber nicht ins Wasser abbiegt, sondern mit der Landgeschwindigkeit weiterläuft, bis Elvis am Ziel ist. In diesem Moment ist der „Schattenhund“ am Punkt E angelangt. Die Gesamtlaufzeit entspricht im gewählten Maßstab der Strecke AE. Deren Länge gilt es zu minimieren oder, was auf dasselbe hinausläuft, die Länge von CE. Die Portugiesen wenden nun den Sinussatz im Dreieck DEB an und kommen nach einigen Umformungen auf das Ergebnis

Dabei ist c = r/s das Verhältnis von Laufzu Schwimmgeschwindigkeit. An dieser Formel kann man die Lösung sofort ablesen. CE ist minimal, wenn sin α maximal ist; und das wiederum ist der Fall, wenn α ein rechter Winkel ist. Den Sinussatz kann Elvis zwar auch nicht – muss er aber auch nicht. Ein rechtwinkliges Dreieck wie DEB wird durch die Höhe CB in zwei Dreiecke zerlegt, die dem ursprünglichen Dreieck ähnlich sind. Also gilt

Literatur und Links

Bacinski, S. J. et al. (2015). Elvis Lives: Mathematical Surprises Inspired by Elvis, the Welsh Corgi. In: The College Mathematics Journal 46, Heft 2, S. 82–91.


Carvalho, A. et al. (2017). The Geometer Dog Who Did Not Know Calculus. In: The College Mathematics Journal 48, Heft 5, S. 339–345.


Elvis does calculus. – YouTube-Video

Pennings, T. J. (2003). Do Dogs Know Calculus? In: The College Mathematics Journal 34, Heft 3, S. 178–182.


Perruchet, P., Gallego, J. (2006). Do Dogs Know Related Rates Rather than Optimization? In: The College Mathematics Journal 37, Heft 1, S. 16–19.

Pöppe, C. (2021): Kann der Hund Analysis? In: Spektrum der Wissenschaft 7/2021, S. 86–89.

Zhou, L. (2017). Did Elvis Know Cauchy–Schwarz? In: The College Mathematics Journal 48, Heft 5, S. 335–338.

Damit ist klar, wie Elvis vorgehen muss: Er springt ins Wasser, wenn der Ball ihm, von seiner bisherigen Laufrichtung am Ufer entlang aus gesehen, unter dem Winkel 𝛿 erscheint. Dieser Winkel ist sozusagen eine persönliche Eigenschaft von ihm, denn cos 𝛿 = 1/c ist das Verhältnis von Schwimm- zu Laufgeschwindigkeit. Natürlich muss er diese Winkelfunktion nicht ausrechnen, sondern kann seinen optimalen Winkel 𝛿 durch Versuch und Irrtum erlernen. Wie machen es die Menschen? Wahrscheinlich ungefähr so wie die Hunde, jedenfalls ohne Analysis. Oder rechnen Sie erst das Minimum des Zeitaufwands aus, bevor Sie sich entscheiden, die Abkürzung über die Wiese anstelle des vorgesehenen Fußgängerwegs zu wählen? Oder wie schräg Sie eine Straße überqueren, in der es gerade keinen Autoverkehr gibt? Bei der letzten Frage wäre schon die mathematische Modellierung schwierig.

Dr. Christoph Pöppe

Jahrgang 1953, hat Mathematik und Physik studiert. Von 1989 bis 2018 war er (der einzige) Redakteur für Mathematik und verwandte Gebiete bei der Zeitschrift „Spektrum der Wissenschaft“.

Hat Ihnen dieser Artikel gefallen?

Ab sofort können Sie mit dem Digital-Abo alle Fachartikel aus dem MINT Zirkel am Bildschirm lesen, alle Zusatzmaterialien zu den Beiträgen nutzen, die Beiträge auch als Audioversion anhören und das Ausgabenarchiv bequem durchsuchen. Viermal im Jahr kommt eine neue Ausgabe – für Ihren Wissensvorsprung! Außerdem erhalten Sie im Abo unbegrenzten Zugriff auf sämtliche im MINT Zirkel veröffentlichten Downloads (Arbeitsblätter, Unterrichtsmaterial etc.) und sichern sich weitere exklusive Vorteile.

Beitrag teilen:

Facebook
X
LinkedIn
Pinterest
XING
WhatsApp
Email

Ähnliche Beiträge

Lehrer steht an einer Tafel, auf der mathematische Formeln zu sehen sind
10. Juni, 2026
Mathematik ist weit mehr als Beweise, Herleitungen und abstrakte Strukturen. Sie ist eine elegante Sprache, die unsere Welt ordnet, erklärt und sogar verzaubern kann, wenn man es nur zulässt. Dennoch haftet ihr oft das Vorurteil an, trocken, schwer zugänglich oder gar verstaubt zu sein. Genau diesem Bild sollte im Leistungskurs 11 des Schuljahres 2024/25 am Otto-Hahn-Gymnasium Landau mit der Erstellung eigener Mathematikbücher entgegengewirkt werden.
Nawi-Lernlandschaft bestehend aus Tischen und Stühlen und diversen mobilen Geräten
3. Juni, 2026
Naturwissenschaftliche Fachräume müssen heute mehr leisten als früher: Sie sollen flexible Unterrichtsformen ermöglichen, höchste Sicherheitsanforderungen erfüllen und pädagogische Entwicklungen wie Individualisierung und selbstorganisiertes Lernen unterstützen. Im Interview beleuchtet Dr. Dr. Dierk Suhr, Bildungsexperte beim Schulausstatter Hohenloher, wie zeitgemäße Raumkonzepte für Biologie, Chemie, Physik und Makerspaces aussehen können.
Schülerin ist gestresst bei den Hausaufgaben
27. Mai, 2026
Stress ist ein allgegenwärtiges Phänomen in unserem täglichen Leben, das sowohl kurz- als auch langfristige Auswirkungen auf unsere körperliche und psychische Gesundheit haben kann. Während wir unsere Stressreaktionen ursprünglich als überlebenswichtige Reaktion auf Gefahren entwickelten, führen die ständigen Anforderungen des modernen Lebens oft zu chronischem Stress, der mit einer Vielzahl von Gesundheitsproblemen verbunden ist. Ein tiefes Verständnis von Stress und seinen biologischen Grundlagen ist daher entscheidend für eine effektive Bewältigung.
Gruppe von Schüler:innen, eine hält ein Megaphon in der Hand
20. Mai, 2026
Gesellschaftliche Krisen machen vor der Schule nicht halt. Sie ist einer der Orte, an denen Krisenfolgen unmittelbar erfahrbar werden. Klimawandel, Kriege, Pandemieerfahrungen, autoritäre Bestrebungen, Armut und soziale Verunsicherung sind für viele Kinder und Jugendliche keine abstrakten Zukunftsrisiken, sondern Teil ihres Alltags. Empirische Befunde zeigen, dass existenzielle Sorgen für zahlreiche Kinder und Jugendliche zu anhaltenden psychischen Belastungen beitragen. Gerade marginalisierte Kinder und Jugendliche sind besonders betroffen. Damit verbundene Erfahrungen prägen Lernprozesse, Beziehungen und das sozial-emotionale Klima im Klassenzimmer. Die Bundesschülerkonferenz bringt das in ihrer aktuellen Kampagne „UNS GEHT’S GUT?“ deutlich zum Ausdruck.
Schüler:innen sitzen in einem Stuhlkreis, in der Mitte auf einem Tisch steht ein TreeMuse-Gerät
13. Mai, 2026
Pflanzen kommunizieren nachweislich miteinander, etwa indem sie sich vor Fressfeinden warnen oder auf Umweltveränderungen reagieren. Wie faszinierend wäre es, diese verborgene Sprache hörbar zu machen? Das Projekt „Re-Connecting with Nature“ macht genau das möglich: Aus feinen Berührungen, Lichtveränderungen oder Schwankungen der Blattfeuchtigkeit entstehen Klänge und damit ein faszinierender, fächerübergreifender Zugang zur Natur, der ökologische Themen und technische Medienkompetenz auf spielerische Weise greifbar macht.
Bücherstapel vor sommerlicher Kulisse
12. Mai, 2026
Endlich Sommer – und endlich Zeit, in Ruhe zu lesen. Wieder haben wir uns mit spannenden neuen Büchern aus der MINT- und Bildungswelt beschäftigt. Hier kommen unsere Lektüreempfehlungen für diesen Sommer. Viel Spaß beim Lesen!
Nahaufnahme einer Brennnessel
5. Mai, 2026
Warum wachsen auf einem frisch geharkten Beet so schnell wieder unerwünschte Kräuter? Die Gründe sind vielfältig: Entweder bilden sie viele Samen, die neu einfliegen oder lange im Boden ruhten (Brennnessel, Vogelmiere, Löwenzahn), oder sie vermehren sich durch Ausläufer oder Rhizome (Brennnessel, Quecke, Giersch). Am Beispiel der Brennnesseln lassen sich im Biologie-Unterricht ökologische Nische, Zeigerarten, pflanzlicher Fraßschutz durch Brennhaare, Ein- und Zweihäusigkeit, Bestimmungsübungen an „Nesseln“, Pflanzenfasern und ökologisches Gärtnern thematisieren.
Mädchen lehnt an einer Tafel und lächelt, während jemand anderes eine Matheaufgabe notiert
29. April, 2026
Übung macht den Meister, das gilt auch für den Mathematikunterricht. Nun hält zwar jedes Lehrwerk einen schier unendlichen Fundus an Übungsaufgaben parat, doch spätestens wenn man auf Seite 198 bei Aufgabe 15 z) angekommen ist, hat man die Schülerschaft verloren. Gut verpackt dagegen können Rechenaufgaben durchaus unterhaltsam sein.
Taurus-Molekülwolke im Sternbild Stier
22. April, 2026
Die Materie zwischen den Sternen ist komplexer, als lange gedacht. Inzwischen wurden zahlreiche Moleküle identifiziert. Entstanden Bausteine des Lebens bereits im Weltraum?
Küste mit Pier und Wellen
15. April, 2026
Steigende Meeresspiegel, zunehmende Sturmfluten und veränderte Lebensräume – der Kli-mawandel stellt unsere Küsten vor immense Herausforderungen. Solche großen Phänomene lassen sich im Schulalltag jedoch oft nur schwer greifbar machen. Für genau dieses Problem wurde ein Deichmodell adaptiert, mit dem Lehrkräfte derartig komplexe Themen ins Klassen-zimmer holen und Schüler:innen aktiv verschiedenste Küstenschutzmaßnahmen nachbauen oder auch neu entwickeln können. Durch selbst erzeugte Wellen können sie zudem die Wirk-samkeit ihrer Konstruktion beobachten und messen. So verbindet das Modell praxisnahes Experimentieren mit einem tieferen Verständnis für den Einfluss des Klimawandels auf unsere Lebensräume.
Menschen arbeiteten auf einem Feld mit goldenem Reis
7. April, 2026
Wenige Themen in der Biologie werden so emotional diskutiert wie gentechnische Verfahren in der Landwirtschaft. Deshalb eignet sich die Agro-Gentechnik – auch grüne Gentechnik genannt – nicht nur dazu, molekularbiologisches Wissen an einem lebensnahen Objekt, unserem täglichen Essen, zu vermitteln. An den verschiedenen Aspekten dieses Themas können unterschiedliche wissenschaftliche Positionen diskutiert werden. Und es lässt sich aufzeigen, wie Fachwissen unterschiedlich bewertet und gewichtet wird, um zu gesellschaftlichen Entscheidungen zu kommen.

Vielen Dank für Ihr Interesse am MINT Zirkel! Registrieren Sie sich jetzt hier für den kostenfreien Download der Unterrichtsmaterialien.

Wenn Sie bereits einen MINT-Zirkel-Account eingerichtet haben, können Sie sich hier anmelden.